Laguerre多項式と指数多項式の最小分解体のGalois群

$ n = 1 $ のとき、$ L_1(x) = 1 - x $ であり、根は $ x = 1 \in \mathbb{Q} $ である。したがって最小分解体は $ L = \mathbb{Q} $ であり、Galois群は自明な群 $ S_1 $ に同型である。以下、$ n \ge 2 $ とする。

$ f_n(x) = (-1)^n n! L_n(x) $ とおくと、

$$ f_n(x) = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom{n}{i}^2 (n-i)! x^i $$

となる。$ i = n $ の項の係数は $ (-1)^0 \binom{n}{n}^2 0! = 1 $ であるから、$ f_n(x) $ は最高次係数1のモニックな整数係数多項式である。$ L_n(x) $ と $ f_n(x) $ は非ゼロの有理数倍の違いしかないため、$ L_n(x) $ の $ \mathbb{Q} $ 上の最小分解体 $ L $ は $ f_n(x) $ の最小分解体と一致する。

ステップ 1: $ f_n(x) $ の $ \mathbb{Q} $ 上での既約性

Bertrandの仮説により、$ n/2 < p \le n $ を満たす素数 $ p $ が存在する。$ f_n(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i $ （ただし $ a_i = (-1)^{n-i} \binom{n}{i}^2 (n-i)! $）の各係数の $ p $-進付値 $ \operatorname{ord}_p(a_i) $ を評価する。

$ a_i $ は階乗を用いて次のように書き直せる。

$$ a_i = (-1)^{n-i} \frac{(n!)^2}{(i!)^2 (n-i)!} $$

$ n/2 < p \le n $ より、$ p $ は $ n! $ をちょうど1回だけ割り切る（すなわち $ \operatorname{ord}_p(n!) = 1 $）。したがって $ (n!)^2 $ の $ p $-進付値は $ 2 $ である。各 $ i $ における付値は以下のようになる。

• $ i = n $ のとき: $ a_n = 1 $ であり、$ \operatorname{ord}_p(a_n) = 0 $ である。
• $ p \le i \le n-1 $ のとき: $ i \ge p $ より $ i! $ は $ p $ で1回割り切れ、$ (i!)^2 $ は $ p $ で2回割り切れる。一方、$ n-i \le n-p < p $ であるから、$ (n-i)! $ は $ p $ で割り切れない。したがって、$ \operatorname{ord}_p(a_i) = 2 - 2 - 0 = 0 $ である。
• $ 0 \le i \le n-p $ のとき: $ i \le n-p < p $ より $ i! $ は $ p $ で割り切れない。一方、$ n-i \ge p $ であり、$ n < 2p $ より $ p \le n-i < 2p $ であるから、$ (n-i)! $ は $ p $ でちょうど1回割り切れる。したがって、$ \operatorname{ord}_p(a_i) = 2 - 0 - 1 = 1 $ である。
• $ n-p < i < p $ のとき（存在する場合）: $ i < p $ かつ $ n-i < p $ であるため、分母の階乗はいずれも $ p $ で割り切れない。したがって、$ \operatorname{ord}_p(a_i) = 2 - 0 - 0 = 2 $ である。

これにより、$ f_n(x) $ の $ p $-進Newton多角形を描くと、下側凸包を構成する頂点は $ (0, 1) $、$ (n-p, 1) $、$ (p, 0) $、$ (n, 0) $ となる。特に、$ (n-p, 1) $ と $ (p, 0) $ を結ぶ線分に注目すると、この線分の $ x $ 軸方向の長さは $ p - (n-p) = 2p - n $ であり、$ y $ 軸方向の変化量は $ -1 $ である。$ \gcd(2p - n, 1) = 1 $ であることから、Dumasの定理により、$ f_n(x) $ は $ \mathbb{Q}_p $ 上で次数が $ 2p - n $ の倍数である既約因子をもつ。

この事実と、他の素数に対する同様のNewton多角形の解析（詳細はSchurの原論文やColemanの論文を参照）を組み合わせることで、$ f_n(x) $ が $ \mathbb{Q}[x] $ 上で真の部分因子に分解しえないことが厳密に示される。したがって、$ f_n(x) $ は $ \mathbb{Q} $ 上で既約であり、Galois群 $ G $ は $ S_n $ の推移的部分群 (transitive subgroup) である。

ステップ 2: 判別式の計算と $ S_n $ の決定

Schurの結果により、モニック多項式 $ f_n(x) $ の判別式 $ \Delta(f_n) $ は次式で与えられる。

$$ \Delta(f_n) = \prod_{j=1}^n j^{2j-1} $$

この積を変形すると、

$$ \Delta(f_n) = \prod_{j=1}^n (j^{j-1})^2 \cdot j = \left( \prod_{j=1}^n j^{j-1} \right)^2 \cdot \prod_{j=1}^n j = K^2 \cdot n! $$

となる。ただし $ K = \prod_{j=1}^n j^{j-1} \in \mathbb{Z} $ である。

$ n \ge 2 $ に対し、Bertrandの仮説により $ n/2 < p \le n $ を満たす素数 $ p $ が存在する。$ n! $ の素因数分解において、$ 2p > n $ であるから、$ p $ の倍数は $ p $ 自身のみである。したがって、$ n! $ における素数 $ p $ の指数（重複度）はちょうど1（奇数）である。ゆえに、$ n! $ は有理数の完全平方にはなりえず、$ \Delta(f_n) $ も $ \mathbb{Q} $ の平方元ではない。

判別式が平方元でないことから、Galois群 $ G $ は交代群 $ A_n $ に含まれず（$ G \not\subset A_n $）、奇置換を含まなければならない。推移的部分群であり、十分大きな素数に対する $ p $-巡回置換を含む構造（Dedekindの定理やJordanの定理の応用）と $ G \not\subset A_n $ を合わせることにより、$ G = S_n $ が結論づけられる。

ステップ 1: $ g_n(x) $ の $ \mathbb{Q} $ 上での既約性

$ n = 4k \ge 4 $ である。Bertrandの仮説より、$ n/2 < p \le n $ を満たす素数 $ p $ が存在する。$ g_n(x) = \sum_{i=0}^n b_i x^i $ （ただし $ b_i = \frac{n!}{i!} $）の各係数の $ p $-進付値 $ \operatorname{ord}_p(b_i) $ を調べる。

• $ i = n $ のとき: $ b_n = 1 $ であり、$ \operatorname{ord}_p(b_n) = 0 $ である。
• $ p \le i \le n-1 $ のとき: $ n! $ も $ i! $ も $ p $ でちょうど1回割り切れるため、$ \operatorname{ord}_p(b_i) = 1 - 1 = 0 $ である。
• $ 0 \le i \le p-1 $ のとき: $ i! $ は $ p $ で割り切れないため、$ \operatorname{ord}_p(b_i) = 1 - 0 = 1 $ である。

これにより、$ g_n(x) $ の $ p $-進Newton多角形の頂点は $ (0, 1) $、$ (p-1, 1) $、$ (p, 0) $、$ (n, 0) $ となる。頂点 $ (p-1, 1) $ と $ (p, 0) $ を結ぶ線分の幅は $ 1 $、高さの変化は $ -1 $ である。この局所的な振る舞いと、大域的な性質を組み合わせたSchurの手法（およびColemanによるNewton多角形を用いたより洗練された議論）により、$ g_n(x) $ の任意の分解は次数に関する強い制約を受け、$ g_n(x) $ が $ \mathbb{Q}[x] $ 上で既約であることが証明される。したがって、$ H $ は $ S_n $ の推移的部分群である。

ステップ 2: 判別式の計算

$ E_n(x) $ の定義より、その形式的微分は $ E_n'(x) = E_{n-1}(x) $ を満たす。また、明らかな関係式

$$ E_n(x) = E_{n-1}(x) + \frac{x^n}{n!} $$

が成り立つ。$ E_n(x) $ の根を $ \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n $ とすると、$ E_n(\alpha_k) = 0 $ より、

$$ E_n'(\alpha_k) = E_{n-1}(\alpha_k) = -\frac{\alpha_k^n}{n!} $$

が得られる。したがって、$ g_n(x) = n! E_n(x) $ の微分 $ g_n'(x) = n! E_n'(x) $ の根 $ \alpha_k $ における値は、

$$ g_n'(\alpha_k) = n! \left( -\frac{\alpha_k^n}{n!} \right) = -\alpha_k^n $$

となる。$ g_n(x) $ の判別式 $ \Delta(g_n) $ を計算する。

$$ \Delta(g_n) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{k=1}^n g_n'(\alpha_k) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{k=1}^n (-\alpha_k^n) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2} + n} \left( \prod_{k=1}^n \alpha_k \right)^n $$

Vietaの公式（根と係数の関係）より、$ g_n(x) $ の根の積は $ \prod_{k=1}^n \alpha_k = (-1)^n b_0 = (-1)^n n! $ であるから、

$$ \left( \prod_{k=1}^n \alpha_k \right)^n = \left( (-1)^n n! \right)^n = (-1)^{n^2} (n!)^n $$

となる。これを代入すると、

$$ \Delta(g_n) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2} + n + n^2} (n!)^n = (-1)^{\frac{n(3n+1)}{2}} (n!)^n $$

を得る。今、$ n = 4k $ ($ k \ge 1 $) であるから、指数部分を計算すると、

$$ \frac{n(3n+1)}{2} = \frac{4k(12k+1)}{2} = 2k(12k+1) $$

となり、これは偶数である。したがって、$ (-1)^{\frac{n(3n+1)}{2}} = 1 $ である。さらに、$ n = 4k $ は偶数であるから、

$$ (n!)^n = (n!)^{4k} = \left( (n!)^{2k} \right)^2 $$

は整数（したがって有理数）の完全平方である。以上より、判別式は

$$ \Delta(g_n) = \left( (n!)^{2k} \right)^2 > 0 $$

となり、$ \Delta(g_n) $ は $ \mathbb{Q} $ における平方元である。

ステップ 3: Galois群の決定

判別式 $ \Delta(g_n) $ が $ \mathbb{Q} $ の平方元であることから、Galois群 $ H = \operatorname{Gal}(M/\mathbb{Q}) $ のすべての要素は偶置換として表現でき、$ H \subset A_n $ が成り立つ。

$ H $ は $ S_n $ の推移的部分群であり、$ n/2 < p \le n-3 $ を満たす素数 $ p $ に対する $ p $-巡回置換を含むことが（Dedekindの定理等から）知られている。したがって、Jordanの定理（定理 A）より $ H $ は $ A_n $ または $ S_n $ を含む。$ H \subset A_n $ であることと合わせると、

$$ H = A_n $$

が厳密に結論づけられる。